4.2 DEFINICIÓN DE SUBESPACIO DE UN ESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES

La definicion de sub-espacio vectorial

Definicion. Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. Un subconjunto W  V es un sub-espacio vectorial
si
1. 0 2 W,
2. w1;w2 ) w1 + w2 2 W,
3. c 2 F, w 2 W ) cw 2 W.
Proposicion. Sea V un espacio vectorial sobre F, con operaciones s : V V ! V y m : F V ! V de suma
de vectores y multiplicacion por escalar, respectivamente. Sea W un subespacio vectorial de V . De nimos las
siguientes operaciones de suma de vectores s0 : W W ! W y multiplicacion por escalar m0 : F W ! W en
W:
 s0(w1;w2) := s(w1;w2), para todo w1;w2 2 W;
 m0(c;w) := m(c;w); para todo w 2 W, c 2 F.
Entonces, con estas operaciones, W es un espacio vectorial, cuyo vector nulo es el vector nulo de V .
Demostracion. La definion de subespacio vectorial implica que s´ y m´ estan bien definidos; o sea que
s´(w1;w2);m´(c;w) 2 W, para todo w;w1;w2 2 W, c 2 F. El hecho que estas operaciones satisfacen las 8
axiomas de espacio vectorial sigue facilmente del hecho que las operaciones en V lo satisfacen. Por ejemplo, para
demostrar el axioma 1 (comutatividad de la suma de vectores en W) tenemos que demostrar que s´(w1;w2) =
s´(w2;w1); para todo w1;w2 2 W. Tenemos entonces que
s´(w1;w2) = s(w1;w2) por la definicion de s´
= s(w2;w1) porque s satisface el Ax. 1
= s´(w2;w1) por la definicion de s´.
De manera similar se demuestran las otras 7 axiomas.
Notas:
1. La demostracion de esta proposicion es esencialmente trivial. Sin embargo, muchos alumnos la encuentran
confusa. >Porque? Mi teoria es la siguiente: porque la demostracion, apesar de ser matematicamente trivial es
muy abstracta y formal, la que la devuelve sicologicamente poco trivial; o sea, la proposicion es una consecuencia
inmediata de las de niciones (espacio vectorial, sub-espacio vectorial), pero los alumnos no estan acostumbrados
a tomar de niciones muy en serio...
2. A pesar de ser esencialmente trivial, esta proposicion es conceptualmente muy importante en la teoria:
nos permite facilmente generar una gran cantidad de ejemplos de espacios vectoriales interesantes, como subespacios
vectoriales de otros espacios vectoriales (menos interesantes). De hecho, no conozco ni un ejemplo
de sub=espacio vectorial en donde no es muy facil veri car las 3 propiedades que aparecen en la de nicion de
sub-espacio vectorial.

Definición: BASE DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Sea un conjunto de vectores del subespacio vectorial W.
Diremos que B es una BASE de este subespacio vectorial si y sólo si:
1) B es un SISTEMA DE GENERADORES de W
2) B es un conjunto LINEALMENTE INDEPENDIENTE.